Flotar o no flotar

En la anterior entrada demostraba que las ratas gigantes de la película “El alimento de los dioses” no podían existir, pues serían incapaces de mover su propio peso. En esta ocasión me toca tratar el asunto de la flotabilidad de las ratas gigantes.

En una escena de la película al protagonista se le ocurre acabar con las ratas ahogándolas; otro personaje le intenta convencer de la inviabilidad de este plan, puesto que las ratas flotan; pero el protagonista le dice que al cambiar la masa de las ratas, éstas no serán capaces de flotar. ¿Influye un cambio de masa en la flotabilidad?
Vamos al lío.

Para facilitar los cálculos supondré que las ratas están totalmente sumergidas en el agua, con lo que el volumen sumergido será igual al volumen del animal (V).
Para empezar defino el Empuje de Peano (E) sufrido por un animal en un fluido (aire, agua, etc.) como la densidad del fluido (rof) multiplicado por el volumen sumergido en el fluido por el animal (V, denotado así por ser igual al volumen del animal), y multiplicado por la gravedad (g).
Ahora defino el Peso de un objeto o animal (P) como la masa del objeto (m) multiplicada por la gravedad. Sabemos que la densidad de un objeto (ro) es igual a su masa partido de su volumen, así que, sustituyendo, P = ro V g
Con todo lo anterior puedo definir el Peso aparente (Pa) como el peso de un animal menos el empuje de Peano que experimenta en el fluido en el que esté.
Para empezar notemos que:

P / E = ro V g / rof V g = ro / rof

Es decir, que la cantidad de peso respecto al empuje depende sólo de las densidades del animal y del fluido. Se sabe que la densidad del agua es superior a la del aire, así que, reemplazando estos valores en la ecuación anterior, y comparando ambas, se tiene que:

ro / ro aire >> ro / ro agua > 1

De donde se deduce que el peso aparente de las ratas es menor en el agua. Pobres personajes de la película, las ratas se moverían mejor en el agua que en tierra, siempre y cuando floten.

Usaré la Segunda Ley de Newton: La suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto (F) es igual a la masa del objeto (m) multiplicada por su aceleración (a).
En este caso la fuerza que actúa sobre las ratas es el peso aparente, con lo que se tiene, operando:

F = m a => Pa = m a => P – E = m a =>


ro V g – rof V g = m a => (ro – rof) V g /m = a

Denotemos m la masa de la rata normal, M la masa de la rata gigante, v el volumen de la rata pequeña y V el volumen de la rata gigante. Recordemos la Ley de la escala, que decía que si la longitud de un animal se multiplicaba por x, su volumen lo hacía por x al cubo (x3), además la densidad se conserva, con lo que su masa también aumentaba por x al cubo. Entonces:

(ro – rof) v g / m = a

Donde a es la aceleración con la que se hundiría la rata pequeña.

(ro – rof) V g / M = (ro – rof) x3 v g / x3 m =

(ro – rof) v g / m = a

La rata gigante se hunde con la misma aceleración que una rata normal. Lo siento por los de la película, pero el plan de ahogarlas por el aumento de su masa no va a funcionar.

De todo lo visto antes se pueden extraer algunas conclusiones interesantes:
¿Habéis notado que los animales más grandes viven bajo el agua? Pues bien, hace unas líneas, he demostrado que las ratas gigantes se moverían mejor en el agua que en tierra, pues su peso sería compensado por el empuje de Peano, ese es el motivo de que los grandes animales vivan bajo el agua, la compensación de su peso por el empuje de Peano, de otra manera no serían capaces de moverse, con lo que no sobrevivirían.
Además hay otro motivo para vivir bajo el agua, el cual viene dado por la Ley de la escala, y es que el calor que absorbe el cuerpo depende de su volumen, mientras que la cantidad de calor que emana de ellos depende de la superficie que contacta con el exterior, es decir, su área. Recordemos que por la Ley de la escala el volumen aumenta más rápido que el área, así que a partir de un cierto tamaño el animal se sobrecalentará, por eso es necesario una fuente de refrigeración: el agua en el que viven la mayoría de ellos; por supuesto hay otros métodos de refrigeración, como las orejas del elefante que lo ventilan como si fueran abanicos.
De lo anterior también se deduce que los animales pequeños tienen temperaturas corporales bajas, por eso algunos de ellos sólo se dedican a comer: para mantener el calor corporal alto. También es la razón de que se abrigue mucho a los bebés.

Y eso es todo por hoy, la próxima semana El increíble hombre menguante (música de suspense).