La GRAN caída

Esta es la segunda de las dos entradas que he hecho en poco más de un día y por eso son menos extensas de lo que normalmente son.

Esta vez trataré sobre la película “Viaje al centro de la Tierra” en su versión más reciente. En esta se llega al centro de la Tierra a través de una especie de chimenea gigante que hay en una mina y cuyo fondo es, justamente, el centro de la Tierra.
Vamos a hacer algunos cálculos, en primer lugar, supondré que la Tierra es esférica y su diámetro es de 12.700km (que es algo menor que su eje más pequeño), con lo que la distancia desde cualquier punto de la superficie (supongo que esos kilómetros que me faltan en el diámetro son los que han recorrido hacia abajo en la mina) hasta el centro de la Tierra es de 6.350km, los protagonistas de la película no se tiran hacia la chimenea, si no que caen, con lo que su velocidad inicial (V0) es 0. Apliquemos una fórmula:

H = H0 + V0 t + 1/2 a t^2

Donde H es la altura final (en este caso -6.350km), H0 es la altura original (en este caso 0km), t es el tiempo que tarda en realizarse el movimiento, y a es la aceleración (en este caso coincide en módulo con la gravedad y la dirección es hacia abajo, por lo que su valor es -10m/s^2). Despejando el tiempo tenemos que tardan 1.270s, o lo que es lo mismo, algo más de 21 minutos.
Calculemos la velocidad final de esa caída:

V = V0 + a t

Donde V es la velocidad final y los otros datos son los mismos que en el problema anterior. Sustituyendo se tiene que V es 12.700m/s. El golpe va a ser muy fuerte cuando llegues abajo. En la película los para un lago de agua, pero a esa velocidad da igual chocar contra agua que contra cemento.

Ahora bien, en realidad la fuerza de la gravedad no es constante a lo largo de la caída, puesto que depende de la distancia al centro de la Tierra. De hecho, la forma de calcularla es a partir de la Ley de gravitación universal de Newton, enunciada como:

F = G m1 m2 / r^2

Donde F es la fuerza de atracción entre dos cuerpos, G es la constante de gravitación universal, m1 y m2 son las masas de los dos cuerpos, y r es la distancia entre sus centros de gravedad.
Para hallar el valor de la gravedad se usa la expresión:

g = G m / r^2

Donde m es la masa de la Tierra y r es su radio (recordemos que en realidad la Tierra es un elipsoide, con lo que el valor de g es distinto en puntos distintos de la superficie). Como se puede ver, el valor de g es inversamente proporcional a r, con lo que al ir acercándose al centro de la Tierra el módulo de la gravedad aumentaría, y en realidad tardarían menos tiempo y llegarían a mayor velocidad (eso sí, del golpe no los libra nadie).

Algo interesante respecto a este tema es el hecho de que si la chimenea llevara de un extremo de la Tierra al otro (como si fuera un diámetro de la Tierra) y se dejara caer un cuerpo desde un extremo el movimiento que tendría sería armónico simple (MAS), y en ausencia de rozamiento, con amplitud el radio de la Tierra; sin embargo el aire va a presentar una oposición al movimiento, con lo que iría disminuyendo su amplitud hasta llegar a 0.

La próxima semana (espero) más y mejor (esto último es bastante fácil que suceda).